Lineare Algebra Beispiele

$z = 4 x - 4 y - x^{2} - y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4 x - 4 y - x^{2} - y^{2} = z$ um.

$4 x - 4 y - x^{2} - y^{2} = z$

Schritt 2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 4 y - x^{2} - y^{2} - z = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = 4 x - x^{2} - z$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

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Schritt 5.1.2.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.1.2.1.1

Bewege $4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.1.2

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.4

Schreibe $- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ als $- (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - z + 4 x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $4 (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ als $2^{2} (- x^{2} - z + 2^{2} x + 4)$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - z + 4 x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - z + 2^{2} x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 2^{2} x + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 1}$

Schritt 5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$ als $- (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 6.1.2.1.1

Bewege $4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2.1.2

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2.4

Schreibe $- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ als $- (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - z + 4 x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $4 (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ als $2^{2} (- x^{2} - z + 2^{2} x + 4)$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - z + 4 x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - z + 2^{2} x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 2^{2} x + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 1}$

Schritt 6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 6.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$ als $- (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 6.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (4 x - x^{2} - z)$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 7.1.2.1.1

Bewege $4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.1.2

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (- x^{2} - z + 4 x) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x^{2} - z + 4 x) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.4

Schreibe $- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ als $- (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (- x^{2} - z + 4 x + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - z + 4 x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $4 (- x^{2} - z + 4 x + 4)$ als $2^{2} (- x^{2} - z + 2^{2} x + 4)$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - z + 4 x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - z + 2^{2} x + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 2^{2} x + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 1}$

Schritt 7.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 7.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$ als $- (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 7.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4})$

Schritt 7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 7.9

Multipliziere $- - \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$ .

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Schritt 7.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$ mit $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 - \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$

Schritt 9

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} - z + 4 x + 4}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} - z + 4 x + 4 \geq 0$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} - z + 4 x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 4$ und $c = - z + 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- z + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot (- z + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot (- z + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 (- z) + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 z + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 z + 16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.6

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 4 z + 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z + 32$ heraus.

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Schritt 10.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z) + 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z) + 4 (8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- z) + 4 (8)$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (- z + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{- 2}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{- z + 8}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot (- z + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot (- z + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 (- z) + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 z + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 z + 16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.6

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 4 z + 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z + 32$ heraus.

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Schritt 10.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z) + 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z) + 4 (8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- z) + 4 (8)$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (- z + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{- 2}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{- z + 8}$

Schritt 10.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{- z + 8}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot (- z + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot (- z + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 (- z) + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 z + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 z + 16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.6

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 4 z + 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z + 32$ heraus.

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Schritt 10.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z) + 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z) + 4 (8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- z) + 4 (8)$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- z + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (- z + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{- 2}$

Schritt 10.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- z + 8}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{- z + 8}$

Schritt 10.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{- z + 8}$

Schritt 10.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2 + \sqrt{- z + 8}$

$x = 2 - \sqrt{- z + 8}$

$x = 2 + \sqrt{- z + 8}$

$x = 2 - \sqrt{- z + 8}$

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$